若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$.
若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$, 即
\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=0.\tag{1}
\]
对于 $\sin$, 结论更显然.
\[
\sin\theta+\sin(2\theta)+\sin(3\theta)+\cdots+\sin(n\theta)=0.\tag{2}
\]
将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:
\[
\cos(\theta+\delta)+\cos(2\theta+\delta)+\cos(3\theta+\delta)+\cdots+\cos(n\theta+\delta)=0\ ?
\]
要求: 不使用下面的公式
\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=\frac{\sin\frac{n}{2}\theta\cdot\cos\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\tag{*}
\]
(1) 和 (2), 更一般的, 写为
\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}=0,\qquad(\text{当} q\nmid h)
\]
参见问题2791
例如 若 $3\theta=2\pi$, 则
\[
\begin{split}
&\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)\\
=&\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{6\pi}{3}\\
=&-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\
=&0.
\end{split}
\]
(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )
还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.